卷积公式推导等价于推导两个相互独立随机变量函数的分布问题。以推导两函数和的分布关系如下:

设 $\mathrm{X}$ 与 $\mathrm{Y}$ 函数符合联合分布，即 $(\mathrm{X},\mathrm{Y})$ ~ $f(x,y)$，则 $\mathrm{Z}=\mathrm{X}+\mathrm{Y}$ 的概率密度为：

$$f_{\mathrm{Z}}(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,z-x)\mathrm{d}x$$

由于联合分布概率密度可以写成边缘概率密度的乘积，给出 ${\mathrm{F}}_{\mathrm{z}}(z)$ 的定义，

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{F}}_{\mathrm{Z}}(z)& \triangleq \mathrm{P}\{\mathrm{Z}\le z\}=\mathrm{P}\{\mathrm{X}+\mathrm{Y}\le \mathrm{Z}\}\\ & =\int \int f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z-x}f(x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$

由关系

$$\begin{array}{rl}{f}_{\mathrm{Z}}(z)& =F_{\mathrm{Z}}^{\prime }\\ & ={\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z-x}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x\right)}_z^{\prime }\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z-x}f(x,y)\mathrm{d}y)}_z^{\prime }\mathrm{d}x\\ & =\int f(x,z-x)\mathrm{d}x\end{array}$$

因为 $\mathrm{X}$ 与 $\mathrm{Y}$ 相互独立，所以有

$$f_{\mathrm{Z}}(z)=\int f_{\mathrm{X}}(x)\cdot f_{\mathrm{Y}}(z-x)\mathrm{d}x$$