Parseval 描述信号在时域以及频域上有着相同的能量这一关系，数学表达为：

$$ \mathfrak{F}{\lbrace x(t) \rbrace} = X(f) $$

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \lvert x(t)\rvert ^2 \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty} \lvert X(f)\rvert ^2 \mathrm{d}f $$

定义一组可以在时域与频域相互转换的信号关系式，为了证明这一点，分别表示在时域和频域上的能量：

$$ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}t $$

$$ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}f $$

带入能量方程：

$$ \begin{aligned} E_{x} &= \int_{-\infty}^{\infty} \lvert x(t) \rvert^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \lvert \int_{-\infty}^{\infty} X(t)e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}f\rvert^2 \mathrm{d}t \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\left(X(f)X^*(f’)\cdot e^{j2\pi(f-f’)t}\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}f\mathrm{d}f’ \end{aligned} $$

观察其中的指数项，

$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi(f-f’)t} = \int_{-\infty}^{\infty}\cos{\left(2\pi(f-f’)t + j\sin{\left(2\pi(f-f’)t\right)}\right) } $$

由于正弦与余弦函数在完整周期中积分为0，可以得知满足狄拉克函数条件：

$$ \delta(t) = \begin{cases} \infty && f -f’=0 \\ \\ 0 && otherwise \end{cases} $$

这样原式化为：

$$ E_{x} = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} X(f)X^*(f’)\delta(f-f’)\mathrm{d}f\mathrm{d}f’ $$

又因为对于含有狄拉克函数的方式有以下关系：

$$ \int_{-\infty}^{\infty}g(f’)\delta(f-f’)\mathrm{d}f’ = g(f) $$

可以得出

$$ E_{x} = \int_{-\infty}^{\infty}X(f)X^*(f)\mathrm{d}f = E_{X} $$